Дверь со стеклянной вставкой

Прежняя версия. Разбор выполнен в прежней версии программы (2011); в действующей 6.14.04 вид окон и порядок действий отличаются, но методика расчёта та же — актуальное описание программы в разделе «Программа».

Мне необходимо посчитать одну двупольную входную дверь (прилагаю файл «Рисунок к вопросу»), но в верхней части есть светопрозрачные элементы из обыкновенного листового стекла 4 мм ромбовидной формы 31,5×31,5 мм. Честно говоря, я с таким сталкиваюсь впервые и не могу понять, как мне это сделать. Нужно ли смещать точки на прямую или разбивать в этих частях сеть настолько густо, чтобы потом по маленьким конечным элементам (квадратам 1×1 мм к примеру) проводить заливку в характеристиках материалов? Но это очень долгий процесс, а времени совсем немного, да и неудобно считать количество квадратиков. Может, есть другое решение?

— Дмитрий

Рисунок к вопросу

Вопрос о красоте и корректности здесь достаточно спорный: можно вместо ромбовидной вставки просто посчитать один слой элементов, но это не так красиво, а заказчику порой красота важна. Ниже — как посчитать это корректно, пусть и не всегда красиво.

Если в двери есть прямоугольная область, повёрнутая, например, на 45 градусов, выводить точки разбиения точно на границу этой области — можно, но утомительно; сделать это реально, но результат не всегда стоит затраченного времени.

Во-первых, если повёрнутая область отстоит от краёв двери на достаточное расстояние, то R0 будет примерно одним и тем же — повёрнут элемент на 45 градусов или нет.

Во-вторых, если поворот всё же нужно учесть, встаёт вопрос — насколько точно (выводить на прямую можно, но утомительно, а можно разбить мельче и закрасить в характеристиках материалов «ступенчато»). Тут уместна аналогия с численным интегрированием: определённый интеграл на интервале $(a, b)$ численно равен площади $S$ , и посчитать её можно методом прямоугольников, методом трапеций или методом Симпсона.

На первый взгляд кажется, что метод Симпсона приближает функцию точнее всего, за ним — метод трапеций. Это не совсем так: метод трапеций на выпуклой функции всегда даёт заниженное значение, на вогнутой — завышенное, а метод Симпсона хорош для квадратичной функции, но, например, для окружности это уже не так. То есть красивая картинка сама по себе не гарантирует высокую точность — и то же относится к расчёту температурных полей: важна не красота рисунка, а то, что площадь закрашенной области должна в точности совпадать с площадью стекла.

Поэтому не обязательно мельчить до 1 мм — можно взять обычную КЭ-сеть и закрасить в характеристиках материалов область «ступенчато», лишь бы закрашенная площадь синим цветом в точности совпадала с площадью стекла.

Ступенчатые края можно вывести на прямую, но это, как правило, только понижает точность — площади после такого выравнивания перестают совпадать. После расчёта ступенчатость уже не так выражена, а при более мелкой сетке КЭ картинка становится ещё «глаже»:

Закрашивать ступенчатую область в характеристиках материалов вручную утомительно — в планах отдельная кнопка, которая после выделения ортогональной области позволит повернуть её (например, на 45 градусов) и уже потом закрасить.

Разбор расчёта именно такой двери — со всеми шагами по сборке модели — приведён ниже.

Пошаговый расчёт

Дверца размером 600×600 мм, с окном в виде квадрата с диагональю 300 мм (212×212 мм), повёрнутого на 45 градусов. Стекло толщиной 4 мм расположено в деревянном полотне толщиной 64 мм — в центре дверцы, и по толщине полотна тоже посередине.

В качестве расчётной области берём ¼ часть двери — это минимальная симметричная часть.

Разбиваем расчётную область на КЭ 10×10 (количество шагов выбрано малым для наглядности):

Разбиение расчётной области сеткой 10×10 в Modeler — Рис. 1 Разбиваем расчётную область на КЭ 10×10

Это разбиение нужно как шаблон. Дальше делаем копию на вторую подконструкцию и на ней рисуем 6 объектов, а потом удаляем разбиение 10×10 (можно было бы сразу нарисовать 6 объектов, но тогда пришлось бы точно вымерять координаты):

Стыковка 6 точек: последовательность объектов 1–6 при сборке ступенчатой области — Рис. 2 Показаны объекты в процессе сборки — 1-й объект это 10×5, 2-й — 9×1, 3-й — 8×1 и т. д.

Затем сохраняем в виде объёма, сразу толщиной 64 мм, — 11 слоёв: 5 слоёв по 6 мм, один слой 4 мм, и снова 5 слоёв по 6 мм:

Объёмная ступенчатая подконструкция, вид рёбер (nz=1166, kel=850) — Рис. 3

Та же ступенчатая подконструкция с сеткой конечных элементов (nz=1166, kel=850) — Рис. 4

Дальше копируем вторую подконструкцию в третью и достраиваем до квадрата ещё 5 объектами, затем удаляем скопированную часть и собираем конструкцию:

Достройка ступенчатой области ещё 5 объектами (стыковка точек 1–5) — Рис. 5

Сохраняем объём (верхнее сечение 34 мм, нижнее — 30 мм, слой один):

Объёмная ступенчатая подконструкция после сохранения дополнительного слоя (nz=1302, kel=950) — Рис. 6

Та же подконструкция с сеткой конечных элементов (nz=1302, kel=950) — Рис. 7

Если нужна большая точность в передаче формы, точки можно перенести на прямую ещё до сохранения объёма — но важно, чтобы перенос во второй и третьей подконструкциях был выполнен совершенно одинаково (лучше переносить на одну и ту же линию, а не перерисовывать её заново). После переноса для улучшения КЭ-сети можно выполнить передислокацию:

Сетка КЭ после переноса ступенчатых точек на прямую границу — Рис. 8

Тот же фрагмент сетки после передислокации у диагональной границы — Рис. 9

Дальше формирование объёма проходит так же, как для ступенчатой конструкции, и получаем объёмную конструкцию:

Объёмная подконструкция с прямой (не ступенчатой) диагональю границы (nz=1302, kel=950) — Рис. 10

Сетка с искривлёнными конечными элементами вдоль диагональной границы — Рис. 11

Сдвиг на линию нужно делать так, чтобы площади ступенчатой и «выровненной» конструкций совпадали — тогда результаты расчётов хорошо сойдутся (см. файлы mnm). Для первого расчёта (рис. 6) тепловой поток через деревянную дверь составил 12,83 Вт, для второго (рис. 11) — 12,86 Вт: расхождение не превышает 0,3 %. То есть при корректном использовании прямоугольной КЭ-сети хороший результат получается и без искривлённых элементов — хотя картинка с искривлёнными элементами действительно выглядит красивее:

Раскраска характеристик материалов: чёрные («незакрашенные») элементы у диагональной границы — Рис. 12

Для ещё большей «красоты» можно взять не ¼, а все 4 части двери — результат при этом получится абсолютно таким же, выигрыша в точности нет, только в трудозатратах на модель. Такой расчёт может понадобиться, если окно расположено не в центре двери или граничные условия и характеристики материалов заданы не симметрично; на рис. 13–15 последовательно показано добавление объёмных подконструкций для полностью симметричной области — для дверного полотна прототипом служит конструкция с рис. 8, повёрнутая на 90 градусов, плюс ещё две аналогичные подконструкции. Для дискретизации окна не обязательно брать все 4 области (рис. 5) — можно разбить одну область 212×212 мм и затем повернуть её на 45 градусов; если полной симметрии нет, вместо поворота используются «зеркало» и «смещение».

Первый этап сборки полностью симметричной конструкции (nz=1492, kel=1035) — Рис. 13

Промежуточный этап сборки симметричной конструкции (nz=3852, kel=2905) — Рис. 14

Полностью собранная симметричная конструкция с ромбовидным окном (nz=4962, kel=3840) — Рис. 15

При задании граничных условий вокруг оконных откосов легко неосторожно «заляпать» цветом дверное полотно — но это несложно исправить одной заливкой:

Граничные условия после заливки: дверное полотно и оконные откосы окрашены раздельно — Рис. 16

Выводы

Хорошие результаты можно получить, используя прямоугольную (не искривлённую) КЭ-сеть.
Если в качестве расчётной области взять минимальную симметричную часть, результат будет тем же, что и при расчёте всей области, но трудозатраты значительно меньше.
Ради «красоты» можно взять всю расчётную область целиком — картинка станет красивее, а результат останется прежним, но для этого понадобится версия программы на большее количество узлов, и расчёт займёт больше времени.
В любом случае стоит смотреть на степень дискретизации — чем мельче сетка, тем точнее результат. Есть смысл потратить «лишние» узлы на точность, а не на красоту: в этих расчётах намеренно взята очень грубая сетка для наглядности, на практике так делать не стоит. Если в «Визуализации» видны чёрные элементы (см. рис. 12), в этих местах сетку нужно разбивать мельче — иначе достоверность результата под вопросом.